Seperti telah dijelaskan pada modul terdahulu, Metode Bisection memiliki kelemahan pokok, yaitu: kecepatannya dalam mencapai divergensi; maka beberapa ahli matematika telah berusaha menyempunakan metode tersebut. Namun demikian, metode ini

memiliki kelebihan yaitu: kepastian atau jaminannya dalam menuju konvergensi.

Dalam modul ini akan dibahas suatu metode solusi baru yang memodifikasi metode bisection, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapai konvergensi, namun masih tetap memiliki kepastian atau jaminan menuju konvergensi.

Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode RegulaFalsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:

gambar : Representasi grafis metode Regula-False

Perhatikan kebangunan 2 segitiga Pcb dan PQR di atas, sehingga persamaan berikut dapat digunakan:

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari Metode Regula Falsi.

Kecepatan atau laju konvergensi dari Metode Regula-Falsi sama dengan Metode Bisection, yaitu ‘konvergensi linier’, namun dengan faktor pengali (konstanta) yang lebih besar dari 1 2 (faktor pengali berkisar antara 1 2 … 1).

Algoritma :

Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada Metode Bisection, yaitu: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a, sedemikian rupa sehingga:

f (a) . f (b) < 0

Meskipun pada algoritma berikut masih mengandung beberapa kelemahan, namun secara umum masih sangat menguntungkan untuk dipakai. Perbaikan dan modifikasi secara numeris dilakukan oleh Brent (Atkinson, 1978), untuk algoritma tersebut.

Flowchart :

Form Perhitungan pencarian Akar dengan Metode Regula False :

Script PHP :

<?php

$b=$_POST['xupper'];

$a=$_POST['xlower'];

$tol=$_POST['tol'];

$max=$_POST['max'];

$x1=$xupper;

$x2=$xlower;

//fungsi yang akan dicari akarnya

function f($x){

$f1=sin($x)/cos($x)-$x-0.5 ;

return $f1;

}

echo"<h1><center>Pencarian akar dengan Metode Regula False</h1>";

echo"Nilai penaksiran (a) : $a ";

echo"Nilai penaksiran (b) : $b ";

echo"Toleransi : $tol ";

echo"Maksimum Iterasi : $max ";

$Fa=f($a);

$Fb=f($b);

if($Fa*$Fb>0){

echo"f(a) x f(b) > 0 Ulangi Penginputan <input type=button value=kembali onclick=history.back()>";

}

else{

echo"

<tr>

Iterasi</td>

a</td>

f(a)</td>

f(b)</td>

abs[f(a)-fb)]/2</td>

</tr>

$i=0;

$epsilon=$tol+1;

//while ((it<=max_iter) and (epsilon>tol))

while(($i<=$max) and ($epsilon>$tol)){

$i=$i+1;

$m=$a-$Fa*($b-$a)/($Fb-$Fa);

$Fm=f($m);

$epsilon=abs($m-$a);

echo"<tr>

<td width=113>$epsilon</td>

</tr>

if($Fa*$Fm<=0){

$b=$m;

$Fb=$Fm;

}

else{

$a=$m;

$Fa=$Fm;

}

echo"</table>";

if($i<$max){

echo"<h2>Iterasi Terpenuhi</h2>Hasil Akhir : $m";

}

else{

echo"Toleransi tidak terpenuhi";

}

Hasil Perhitungan :

Pencarian akar dengan Metode Regula False

Nilai penaksiran (a) : -2
Nilai penaksiran (b) : 5
Toleransi : 0.00001
Maksimum Iterasi : 20

Iterasi	a	b	m	f(a)	f(b)	abs[f(a)-fb)]/2
1	-2	5	0.052856345041007	3.6850398632615	-8.8805150062466	2.052856345041
2	-2	0.052856345041007	-0.19238363588817	3.6850398632615	-0.49995072169727	1.8076163641118
3	-2	-0.19238363588817	-0.40926101899594	3.6850398632615	-0.50240913923385	1.5907389810041
4	-2	-0.40926101899594	-0.60746113799927	3.6850398632615	-0.52449188985726	1.3925388620007
5	-2	-0.60746113799927	-0.79899573063523	3.6850398632615	-0.58768534555702	1.2010042693648
6	-2	-0.79899573063523	-0.99725106718067	3.6850398632615	-0.72857601176415	1.0027489328193
7	-2	-0.99725106718067	-1.2197402566103	3.6850398632615	-1.0507802550867	0.78025974338971
8	-2	-1.2197402566103	-1.4951964512239	3.6850398632615	-2.0108160099007	0.50480354877607
9	-2	-1.4951964512239	-1.8829473045189	3.6850398632615	-12.207128981803	0.11705269548111
10	-1.8829473045189	-1.4951964512239	-1.7788172123876	4.481792730257	-12.207128981803	0.10413009213127
11	-1.7788172123876	-1.4951964512239	-1.6851804517184	6.0164856616966	-12.207128981803	0.093636760669185
12	-1.6851804517184	-1.4951964512239	-1.60015183342	9.8894910293743	-12.207128981803	0.085028618298395
13	-1.60015183342	-1.4951964512239	-1.5222473822419	35.155525078115	-12.207128981803	0.077904451178152
14	-1.60015183342	-1.5222473822419	-1.5500964778572	35.155525078115	-19.559337223672	0.050055355562886
15	-1.60015183342	-1.5500964778572	-1.5787980688342	35.155525078115	-47.25253466752	0.021353764585851
16	-1.5787980688342	-1.5500964778572	-1.5579222802766	126.04891737193	-47.25253466752	0.020875788557638
17	-1.5787980688342	-1.5579222802766	-1.5658140566097	126.04891737193	-76.613441648733	0.012984012224526
18	-1.5787980688342	-1.5658140566097	-1.573773030268	126.04891737193	-199.64424149448	0.0050250385661821
19	-1.573773030268	-1.5658140566097	-1.568774899366	337.01487547523	-199.64424149448	0.0049981309020206
20	-1.573773030268	-1.568774899366	-1.5717451558479	337.01487547523	-493.63047754194	0.0020278744200939
21	-1.5717451558479	-1.568774899366	-1.5697216760175	1055.0020571783	-493.63047754194	0.0020234798304466

Toleransi tidak terpenuhi

Demikian Pencarian nilai akar dengan metode Regulafalse

Metode biseksi ini adalah metode untuk mencari akar-akar dari sebuah fungsi dengan cara menghitung nilai fungsi f(x) dari 2 nilai X : (X1,X2) yang diberikan, dan diharapkan nilai f(X1).f(X2)< xmid="(X1+X2)/2." baru =" (Xmid">

Metode numerik untuk mendapatkan harga x untuk f(x) = 0 seperti uraian di pasal 2.1 disebut METODE BISECTION. Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari. Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a)×f(b) <>

Dengan rumusan m = (a+b)/2, diperiksa apakah nilai mutlak f(m) <>-6 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila f(a)*f(m) < a =" m"> 0; proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.

Metode Bisection adalah salah satu kelas metode Pengelompokan, karena prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan kelompok akar. Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi penentuan nilai x. Misalnya, tidak digunakannya ukuran relatif f(a) dan f(b), karena umumnya jika f(a) <>

Penetapan m ini dikenal dengan cara REGULA FALSI dan algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan : m =a-[(b-a)x f(b)/f(b)-f(a)

Metode Bisection ini paling sederhana dan paling intractif dari metode pendekatan berturut-turut untuk melokalisasi sebuah persamaan akar f(x) = 0 dalam selang [a,b].

Metode ini didasrkan pada teorema nilai antara untuk fungsi kontinu., yang menyatakan pada suatu selang [a,b] sedemikian sehingga titik-titik ujung f berlawanan tanda, missal f(a) <> 0, harus mengandung suatu akar. Metode ini merupakan pengulangan pembagiduaan selang yang memenuhi teorema di atas. Oleh karena itu metode ini disebut metode bagi dua.

Algoritma Metode Bisection

Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal

[a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus

terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a, sedemikian rupa

sehingga:

f (a) × f (b) £ 0

Algoritma BISECT(f,a,b,akar,e,iter,itmax,flag)

1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan e; dan itmax

2. Set f0 = f(a); iter = 0; flag = 0;

3. Tentukan atau hitung akar = c := (a + b)/2; iter = iter + 1;

4. Jika f(a)·f(c) £ 0 maka b = c jika tidak a = c dan f0 = f(a);

5. Jika (b – a) £ e maka flag = 1 jika iter >itmax maka flag = 2;

6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;

7. Akar persamaan adalah: akar = (a + b)/2,sebagai akar terbaru;

8. Selesai.

Flow chart Metode Bisection

Form dengan menggunakan HTML :

Target Script PHP :

<?php

$xupper=$_POST['xupper'];

$xlower=$_POST['xlower'];

$x1=$xupper;

$x2=$xlower;

//fungsi yang akan dicari akarnya

function f1($x){

$f1=-0.9*$x*$x+1.7*$x+2.5 ;

return $f1;

}

echo"<h1><center>Pencarian akar dengan Metode Bisection</h1>";

echo"Nilai penaksiran Xlower : $xlower ";

echo"Nilai penaksiran Xupper : $xupper <hr>";

//Pengecekan langkah 1

$a=f1($xlower);

$b=f1($xupper);

$c=$a * $b;

if($c>0){

echo" $a dan $b ";

echo"Nilai f(Xlower) . f(Xupper) > 0 Silakan lakukan penginputan Ulang";

}

else{

$k=1;

$xr=($xlower+$xupper)/2;

$t1=f1($xlower);

$t2=f1($xr);

$hasil=$t1*$t2;

if($hasil==0){

$akar=$xr;

echo"hasil akar adalah $akar";

}

else{

//header tabel

echo"

<tr>

No</td>

Xlower</td>

Xupper</td>

Xr</td>

F(xlower)</td>

F(xupper)</td>

</tr>

while($hasil<>0){

//langkah 2 :bagi dua

$xr=($xlower+$xupper)/2;

//langkah 3 pengecekan

$t1=f1($xlower);

$t2=f1($xr);

$hasil=$t1*$t2;

if($hasil<0){

$xupper=$xr;

}

else{

$xlower=$xr;

}

echo"

<tr>

$k</td>

$xlower</td>

$xupper</td>

$xr</td>

$t1</td>

$t2</td>

</tr>

$k++;

}

echo"</table>";

}

//Kesimpulan hasil iterasi

$k1=$k-1;

echo"

<tr>

Kesimpulan Metode Bisection</td>

</tr>

<tr>

<td width=34%>Nilai Taksiran Atas</td>

</tr>

<tr>

<td width=34%>Nilai Taksiran Bawah</td>

</tr>

<tr>

<td width=34%>Jumlah Iterasi</td>

</tr>

<tr>

<td width=34%>Nilai Akar yang ditemukan</td>

</tr>

</table>

Hasil Dari Percobaan :

No	Xlower	Xupper	Xr	F(xlower)	F(xupper)
1	2.5	3	2.5	2.3	1.125
2	2.75	3	2.75	1.125	0.36875
3	2.75	2.875	2.875	0.36875	-0.051562499999999
4	2.8125	2.875	2.8125	0.36875	0.162109375
5	2.84375	2.875	2.84375	0.162109375	0.056152343749999
6	2.859375	2.875	2.859375	0.056152343749999	0.0025146484374989
7	2.859375	2.8671875	2.8671875	0.0025146484374989	-0.024468994140626
8	2.859375	2.86328125	2.86328125	0.0025146484374989	-0.010963439941407
9	2.859375	2.861328125	2.861328125	0.0025146484374989	-0.0042209625244141
10	2.859375	2.8603515625	2.8603515625	0.0025146484374989	-0.00085229873657156
11	2.85986328125	2.8603515625	2.85986328125	0.0025146484374989	0.00083138942718453
12	2.85986328125	2.860107421875	2.860107421875	0.00083138942718453	-1.0401010513306E-5
13	2.8599853515625	2.860107421875	2.8599853515625	0.00083138942718453	0.00041050761937989
14	2.8600463867188	2.860107421875	2.8600463867188	0.00041050761937989	0.0002000566571958
15	2.8600769042969	2.860107421875	2.8600769042969	0.0002000566571958	9.4828661530322E-5
16	2.8600921630859	2.860107421875	2.8600921630859	9.4828661530322E-5	4.2214035055999E-5
17	2.8600997924805	2.860107421875	2.8600997924805	4.2214035055999E-5	1.5906564657442E-5
18	2.8601036071777	2.860107421875	2.8601036071777	1.5906564657442E-5	2.7527901700353E-6
19	2.8601036071777	2.8601055145264	2.8601055145264	2.7527901700353E-6	-3.8241068986977E-6
20	2.8601036071777	2.8601045608521	2.8601045608521	2.7527901700353E-6	-5.3565754676299E-7
21	2.8601040840149	2.8601045608521	2.8601040840149	2.7527901700353E-6	1.1085665159172E-6
22	2.8601043224335	2.8601045608521	2.8601043224335	1.1085665159172E-6	2.8645453564735E-7
23	2.8601043224335	2.8601044416428	2.8601044416428	2.8645453564735E-7	-1.2460149179105E-7
24	2.8601043820381	2.8601044416428	2.8601043820381	2.8645453564735E-7	8.0926525036773E-8
25	2.8601043820381	2.8601044118404	2.8601044118404	8.0926525036773E-8	-2.183748382123E-8
26	2.8601043969393	2.8601044118404	2.8601043969393	8.0926525036773E-8	2.9544520607772E-8
27	2.8601044043899	2.8601044118404	2.8601044043899	2.9544520607772E-8	3.8535201696277E-9
28	2.8601044043899	2.8601044081151	2.8601044081151	3.8535201696277E-9	-8.9919804935334E-9
29	2.8601044043899	2.8601044062525	2.8601044062525	3.8535201696277E-9	-2.5692319383097E-9
30	2.8601044053212	2.8601044062525	2.8601044053212	3.8535201696277E-9	6.4214411565899E-10
31	2.8601044053212	2.8601044057868	2.8601044057868	6.4214411565899E-10	-9.6354302314694E-10
32	2.8601044053212	2.860104405554	2.860104405554	6.4214411565899E-10	-1.6069900965476E-10
33	2.8601044054376	2.860104405554	2.8601044054376	6.4214411565899E-10	2.4072122073449E-10
34	2.8601044054958	2.860104405554	2.8601044054958	2.4072122073449E-10	4.0012437807491E-11
35	2.8601044054958	2.8601044055249	2.8601044055249	4.0012437807491E-11	-6.0344618191266E-11
36	2.8601044054958	2.8601044055104	2.8601044055104	4.0012437807491E-11	-1.0166978370307E-11
37	2.8601044055031	2.8601044055104	2.8601044055031	4.0012437807491E-11	1.4922285629382E-11
38	2.8601044055067	2.8601044055104	2.8601044055067	1.4922285629382E-11	2.3776536295372E-12
39	2.8601044055067	2.8601044055085	2.8601044055085	2.3776536295372E-12	-3.8937741919653E-12
40	2.8601044055067	2.8601044055076	2.8601044055076	2.3776536295372E-12	-7.5850437042391E-13
41	2.8601044055072	2.8601044055076	2.8601044055072	2.3776536295372E-12	8.1090689718621E-13
42	2.8601044055074	2.8601044055076	2.8601044055074	8.1090689718621E-13	2.6645352591004E-14
43	2.8601044055074	2.8601044055075	2.8601044055075	2.6645352591004E-14	-3.6681768733615E-13
44	2.8601044055074	2.8601044055075	2.8601044055075	2.6645352591004E-14	-1.6964207816272E-13
45	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	2.6645352591004E-14	-7.283063041541E-14
46	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	2.6645352591004E-14	-2.3092638912203E-14
47	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	2.6645352591004E-14	8.8817841970013E-16
48	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	8.8817841970013E-16	-1.1546319456102E-14
49	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	8.8817841970013E-16	-4.4408920985006E-15
50	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	8.8817841970013E-16	-8.8817841970013E-16
51	2.8601044055074	2.8601044055074	2.8601044055074	8.8817841970013E-16	0

Kesimpulan Metode Bisection
Nilai Taksiran Atas	3
Nilai Taksiran Bawah	2
Jumlah Iterasi	51
Nilai Akar yang ditemukan	2.8601044055074

Saluky @etunas Best Solution

Kamis, 08 Desember 2011

Metoda Regula false dengan PHP

Pencarian akar dengan Metode Regula False

Metode Bisection dengan PHP

About Me

Label

Arsip Blog

Share it