Seperti telah dijelaskan pada modul terdahulu, Metode Bisection memiliki kelemahan pokok, yaitu: kecepatannya dalam mencapai divergensi; maka beberapa ahli matematika telah berusaha menyempunakan metode tersebut. Namun demikian, metode ini

memiliki kelebihan yaitu: kepastian atau jaminannya dalam menuju konvergensi.

Dalam modul ini akan dibahas suatu metode solusi baru yang memodifikasi metode bisection, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapai konvergensi, namun masih tetap memiliki kepastian atau jaminan menuju konvergensi.

Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode RegulaFalsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:

gambar : Representasi grafis metode Regula-False

Perhatikan kebangunan 2 segitiga Pcb dan PQR di atas, sehingga persamaan berikut dapat digunakan:

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari Metode Regula Falsi.

Kecepatan atau laju konvergensi dari Metode Regula-Falsi sama dengan Metode Bisection, yaitu ‘konvergensi linier’, namun dengan faktor pengali (konstanta) yang lebih besar dari 1 2 (faktor pengali berkisar antara 1 2 … 1).

Algoritma :

Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada Metode Bisection, yaitu: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a, sedemikian rupa sehingga:

f (a) . f (b) < 0

Meskipun pada algoritma berikut masih mengandung beberapa kelemahan, namun secara umum masih sangat menguntungkan untuk dipakai. Perbaikan dan modifikasi secara numeris dilakukan oleh Brent (Atkinson, 1978), untuk algoritma tersebut.

Flowchart :

Form Perhitungan pencarian Akar dengan Metode Regula False :

Script PHP :

<?php

$b=$_POST['xupper'];

$a=$_POST['xlower'];

$tol=$_POST['tol'];

$max=$_POST['max'];

$x1=$xupper;

$x2=$xlower;

//fungsi yang akan dicari akarnya

function f($x){

$f1=sin($x)/cos($x)-$x-0.5 ;

return $f1;

}

echo"<h1><center>Pencarian akar dengan Metode Regula False</h1>";

echo"Nilai penaksiran (a) : $a ";

echo"Nilai penaksiran (b) : $b ";

echo"Toleransi : $tol ";

echo"Maksimum Iterasi : $max ";

$Fa=f($a);

$Fb=f($b);

if($Fa*$Fb>0){

echo"f(a) x f(b) > 0 Ulangi Penginputan <input type=button value=kembali onclick=history.back()>";

}

else{

echo"

<tr>

Iterasi</td>

a</td>

f(a)</td>

f(b)</td>

abs[f(a)-fb)]/2</td>

</tr>

$i=0;

$epsilon=$tol+1;

//while ((it<=max_iter) and (epsilon>tol))

while(($i<=$max) and ($epsilon>$tol)){

$i=$i+1;

$m=$a-$Fa*($b-$a)/($Fb-$Fa);

$Fm=f($m);

$epsilon=abs($m-$a);

echo"<tr>

<td width=113>$epsilon</td>

</tr>

if($Fa*$Fm<=0){

$b=$m;

$Fb=$Fm;

}

else{

$a=$m;

$Fa=$Fm;

}

echo"</table>";

if($i<$max){

echo"<h2>Iterasi Terpenuhi</h2>Hasil Akhir : $m";

}

else{

echo"Toleransi tidak terpenuhi";

}

Hasil Perhitungan :

Pencarian akar dengan Metode Regula False

Nilai penaksiran (a) : -2
Nilai penaksiran (b) : 5
Toleransi : 0.00001
Maksimum Iterasi : 20

Iterasi	a	b	m	f(a)	f(b)	abs[f(a)-fb)]/2
1	-2	5	0.052856345041007	3.6850398632615	-8.8805150062466	2.052856345041
2	-2	0.052856345041007	-0.19238363588817	3.6850398632615	-0.49995072169727	1.8076163641118
3	-2	-0.19238363588817	-0.40926101899594	3.6850398632615	-0.50240913923385	1.5907389810041
4	-2	-0.40926101899594	-0.60746113799927	3.6850398632615	-0.52449188985726	1.3925388620007
5	-2	-0.60746113799927	-0.79899573063523	3.6850398632615	-0.58768534555702	1.2010042693648
6	-2	-0.79899573063523	-0.99725106718067	3.6850398632615	-0.72857601176415	1.0027489328193
7	-2	-0.99725106718067	-1.2197402566103	3.6850398632615	-1.0507802550867	0.78025974338971
8	-2	-1.2197402566103	-1.4951964512239	3.6850398632615	-2.0108160099007	0.50480354877607
9	-2	-1.4951964512239	-1.8829473045189	3.6850398632615	-12.207128981803	0.11705269548111
10	-1.8829473045189	-1.4951964512239	-1.7788172123876	4.481792730257	-12.207128981803	0.10413009213127
11	-1.7788172123876	-1.4951964512239	-1.6851804517184	6.0164856616966	-12.207128981803	0.093636760669185
12	-1.6851804517184	-1.4951964512239	-1.60015183342	9.8894910293743	-12.207128981803	0.085028618298395
13	-1.60015183342	-1.4951964512239	-1.5222473822419	35.155525078115	-12.207128981803	0.077904451178152
14	-1.60015183342	-1.5222473822419	-1.5500964778572	35.155525078115	-19.559337223672	0.050055355562886
15	-1.60015183342	-1.5500964778572	-1.5787980688342	35.155525078115	-47.25253466752	0.021353764585851
16	-1.5787980688342	-1.5500964778572	-1.5579222802766	126.04891737193	-47.25253466752	0.020875788557638
17	-1.5787980688342	-1.5579222802766	-1.5658140566097	126.04891737193	-76.613441648733	0.012984012224526
18	-1.5787980688342	-1.5658140566097	-1.573773030268	126.04891737193	-199.64424149448	0.0050250385661821
19	-1.573773030268	-1.5658140566097	-1.568774899366	337.01487547523	-199.64424149448	0.0049981309020206
20	-1.573773030268	-1.568774899366	-1.5717451558479	337.01487547523	-493.63047754194	0.0020278744200939
21	-1.5717451558479	-1.568774899366	-1.5697216760175	1055.0020571783	-493.63047754194	0.0020234798304466

Toleransi tidak terpenuhi

Demikian Pencarian nilai akar dengan metode Regulafalse

Saluky @etunas Best Solution

Kamis, 08 Desember 2011

Metoda Regula false dengan PHP

Pencarian akar dengan Metode Regula False

Tidak ada komentar: